1.
In Fig ,
sides QP and RQ of Δ PQR are produced to points S and T respectively. If ∠ SPR = 135° and ∠ PQT = 110°, find ∠ PRQ.
Solution 1:
It is given that,
∠SPR = 135º and ∠PQT = 110º
∠SPR + ∠QPR = 180º (Linear pair angles)
135º + ∠QPR = 180º
∠QPR = 45º
Also, ∠PQT + ∠PQR = 180º (Linear pair angles)
110º + ∠PQR = 180º
∠PQR = 70º
As the sum of all interior angles of a triangle is 180º, therefore, for ∆PQR,
∠QPR + ∠PQR + ∠PRQ = 180º
45º + 70º + ∠PRQ = 180º
∠PRQ = 180º − 115º
∠PRQ = 65º
2.
In Fig,
∠ X =
62°, ∠ XYZ =
54°. If YO and ZO are the bisectors of ∠ XYZ and ∠ XZY respectively of Δ XYZ, find ∠ OZY and ∠ YOZ.
Solution 2:
As the sum of all interior angles of a triangle is 180º, therefore, for ∆XYZ,
∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180º
62º + 54º + ∠XZY = 180º
∠XZY = 180º − 116º
∠XZY = 64º
∠OZY = 64 º/2 = 32º (OZ is the angle bisector of ∠XZY)
Similarly, ∠OYZ =54 º /2 = 27º
Using angle sum property for ∆OYZ, we obtain
∠OYZ+ ∠YOZ+ ∠OZY = 180º
27º + ∠YOZ+ 32º= 180º
∠YOZ= 180º − 59º
∠YOZ= 121º
Hence, ∠OZY = 32º and ∠YOZ = 121º
3.
In Fig., if AB || DE, ∠ BAC = 35° and ∠ CDE = 53°, find ∠ DCE.
Solution 3:
AB || DE and AE is a transversal.
∠BAC = ∠CED (Alternate interior angles)
∠CED = 35º
In ∆CDE,
∠CDE + ∠CED + ∠DCE = 180º (Angle sum property of a triangle)
53º + 35º + ∠DCE = 180º
∠DCE = 180º − 88º
∠DCE = 92º
4.
In Fig., if lines PQ and RS intersect at point
T, such that ∠ PRT = 40°, ∠ RPT = 95° and ∠TSQ = 75°, find ∠ SQT.
Solution 4:
Using angle sum property for ∆PRT, we obtain
∠PRT + ∠RPT + ∠PTR = 180º
40º + 95º + ∠PTR = 180º
∠PTR = 180º − 135º
∠PTR = 45º
∠STQ = ∠PTR = 45º (Vertically opposite angles)
∠STQ = 45º
By using angle sum property for ∆STQ, we obtain
∠STQ + ∠SQT + ∠QST = 180º
45º + ∠SQT + 75º = 180º
∠SQT = 180º − 120º
∠SQT = 60º
5.
In Fig, if PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠ SQR = 28° and ∠ QRT = 65°, then find
the values of x and y.
Solution 5:
It is given that PQ || SR and QR is a transversal line.
∠PQR = ∠QRT (Alternate interior angles)
x + 28º = 65º
x = 65º − 28º
x = 37º
By using the angle sum property for ∆SPQ, we obtain
∠SPQ + x + y = 180º
90º + 37º + y = 180º
y = 180º − 127º
y = 53º
x = 37º and y = 53º
6.
In Fig. 6.44, the side QR of Δ PQR is produced
to a point S. If the bisectors of ∠ PQR and ∠ PRS meet at point T, then prove that
½ ∠ QTR =∠ QPR.
Solution 6:
In ∆QTR, ∠TRS is an exterior angle.
∠QTR + ∠TQR = ∠TRS
∠QTR = ∠TRS − ∠TQR … (1)
For ∆PQR, ∠PRS is an external angle.
∠QPR + ∠PQR = ∠PRS
∠QPR + 2∠TQR = 2∠TRS (As QT and RT are angle bisectors)
∠QPR = 2(∠TRS − ∠TQR)
∠QPR = 2∠QTR [By using Equation (1)]
½ ∠QTR = ∠QPR
